Представление множеств битовыми массивами
В случае, если 65 000 элементов недостаточно для задания всех необходимых множеств (например, 10 множеств по 10 000 элементов в каждом), это число можно увеличить в 8 раз, перейдя от байтов к битам. Тогда 1 байт будет хранить информацию не об одном, а сразу о восьми элементах: единичный бит будет означать наличие элемента в множестве, а нулевой бит - отсутствие.
Задавая битовый массив, начнем нумерацию его компонент с 0:
set_bit: array[0..N-1] of byte;
Тогда результатом операции <номер_элемента> div 8 будет номер той компоненты массива, в которой содержится информация об этом элементе. А вот номер бита, в котором содержится информация об этом элементе, придется вычислять более сложным образом:
bit:= <номер_элемента> mod 8; if bit=0 then bit:= 8;
Эти вычисления потребуются нам еще не раз, поэтому запишем их снова, более строго, а затем будем использовать по умолчанию (element - это "номер" обрабатываемого элемента в нашем множестве):
kmp:= element div 8; {номер компоненты массива} bit:= element mod 8; {номер бита} if bit=0 then bit:= 8;
Перечислим теперь действия, которые потребуются для реализации операций над множествами, заданными битовыми массивами.
-
Проверка множества на пустоту почти не будет отличаться от аналогичной проверки в случае представления множества не битовым, а обычным массивом:
pusto:= true; for i:= 0 to N-1 do if set_arr[i]<>0 then begin pusto:= false; break end;
-
Проверка элемента на принадлежность множеству потребует несколько большей изворотливости ведь нам теперь нужно вычленить соответствующий бит:
if set_arr[kmp]and(1 shl(bit-1))=0 then is_in:= false else is_in:= true;
Поясним, что здесь используется операция "побитовое и" (см. лекцию 2), которая работает непосредственно с битами нужной нам компоненты массива и числа, состоящего из семи нулей и единицы на месте с номером bit.
-
Добавление элемента в множество теперь будет записано так:
set_arr[kmp]:= set_arr[kmp]or(1 shl(bit-1));
Здесь нельзя использовать обычную операцию сложения (+), так как если добавляемый компонент уже содержится в множестве (то есть соответствующий бит уже имеет значение 1), то в результате сложения 1+1 получится 10: единица автоматически перенесется в старший бит, а на нужном месте окажется 0.
-
Удаление элемента из множества придется записать более сложным образом:
set_arr[kmp]:= set_arr[kmp]and not(1 shl(bit-1));
Операция not превратит все 0 в 1 и наоборот, следовательно, теперь в качестве второго операнда для побитового and будет фигурировать число, состоящее из семи единиц и нуля на месте с номером bit. Единицы сохранят любые значения тех битов, которые должны остаться без изменения, и лишь 0 "уничтожит" значение единственного нужного бита.
Пересечение множеств реализуется теперь при помощи операции "побитовое и":
for i:= 0 to N-1 do set_res[i]:= set1[i] and set2[i];
Объединение множеств реализуется при помощи операции "побитовое или":
for i:= 0 to N-1 do set_res[i]:= set1[i] or set2[i];
Разность двух множеств может быть построена так:
for i:= 0 to N-1 do set_res[i]:= (set1[i] or set2[i]) and not set2[i];
Поясним, что здесь мы вначале прибавляем содержимое второго множества к первому, чтобы затем быть полностью уверенными в правомерности операции вычитания.
Проверка двух множеств на равенство по-прежнему не требует особых пояснений:
equal:= true; for i:=0 to N-1 do if set1[i]<> set2[i] then begin equal:= false; break end;
Проверка двух множеств на включение (set1<set2) будет производиться по схеме: "Если (A\B)B=A, то B
A ", доказательство которой настолько очевидно, что мы не станем на нем задерживаться:
subset:= true; for i:= 0 to N-1 do if((set1[i] or set2[i])and not set2[i]) or set2[i] <> set1[i] then begin subset:= false; break end;
Замечание. Если предстоит многократно выполнять действия с элементами битовых массивов, то используемые для этого значения "единиц" удобнее всего сразу задать в специальном массиве:
{ed: array[1..8] of byte;} ed[1]:=1; for k:= 2 to 8 do ed[k]:= ed[k-1] shl 1;
И далее вместо громоздкой конструкции 1 shl(bit-1) можно использовать просто ed[bit].
